Kalkulus Contoh

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.6

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.6.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.8

Kalikan $i^{2}$ dengan $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.10

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.10.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.10.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.10.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.10.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.10.5

Evaluasi eksponennya.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.11

Kalikan $3 (- 1 \cdot 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.11.2

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Langkah 2.1.12

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.12.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.12.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.13

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.14

Faktorkan $i^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.15

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.16

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.17

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.18

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Langkah 2.1.19

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Langkah 2.1.20

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Langkah 2.1.21

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.21.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Langkah 2.1.21.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Langkah 2.1.22

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Langkah 2.1.23

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $9$ dengan $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 3 i \sqrt{3}$ dan $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Langkah 2.2.3

Kurangi $8$ dengan $0$ .

$- 8$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 8$ dan $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

Langkah 6.3

Tambahkan $0$ dan $64$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 8$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{0}{- 8}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $π$ .

$θ = π$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = π$ dan $| z | = 8$ .

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$