Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x + 6)}^{2} (x - 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali ${(x + 6)}^{2}$ sebagai $(x + 6) (x + 6)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x + 6) (x + 6) (x - 3))$

Langkah 1.1.2

Perluas $(x + 6) (x + 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x + 6) + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Langkah 1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Langkah 1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Langkah 1.1.3.1.3

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 x + 6 x + 36) (x - 3))$

Langkah 1.1.3.2

Tambahkan $6 x$ dan $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 12 x + 36) (x - 3))$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2} + 12 x + 36$ dan $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Langkah 1.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Langkah 1.1.5.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Langkah 1.1.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Langkah 1.1.5.4.2

Kalikan $x^{2} + 12 x + 36$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Langkah 1.1.5.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 12 x + 36$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Langkah 1.1.5.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Langkah 1.1.5.7

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36))$

Langkah 1.1.5.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36))$

Langkah 1.1.5.9

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + \frac{d}{d x} (36))$

Langkah 1.1.5.10

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + 0)$

Langkah 1.1.5.11

Tambahkan $2 x + 12$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12)$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Langkah 1.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Langkah 1.1.6.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Langkah 1.1.6.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Langkah 1.1.6.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Langkah 1.1.6.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Langkah 1.1.6.4.5

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Langkah 1.1.6.4.6

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 \cdot x - 3 \cdot 12$

Langkah 1.1.6.4.7

Kalikan $- 3$ dengan $12$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 x - 36$

Langkah 1.1.6.4.8

Tambahkan $- 6 x$ dan $12 x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} + 6 x - 36$

Langkah 1.1.6.4.9

Tambahkan $x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 36 + 6 x - 36$

Langkah 1.1.6.4.10

Tambahkan $12 x$ dan $6 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 36 - 36$

Langkah 1.1.6.4.11

Kurangi $36$ dengan $36$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 0$

Langkah 1.1.6.4.12

Tambahkan $3 x^{2} + 18 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} + 18 x$ .

$3 x^{2} + 18 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} + 18 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} + 18 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2} + 18 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 18 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $3 x$ dari $18 x$ .

$3 x (x) + 3 x (6) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $3 x$ dari $3 x (x) + 3 x (6)$ .

$3 x (x + 6) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 6$ sama dengan $0$ .

$x + 6 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 6$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 x (x + 6) = 0$ benar.

$x = 0, - 6$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 6$ .

$0, - 6$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 6)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 7) = 3 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 7) = 3 \cdot 49 + 18 (- 7)$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $49$ .

$f' (- 7) = 147 + 18 (- 7)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $18$ dengan $- 7$ .

$f' (- 7) = 147 - 126$

Langkah 5.2.2

Kurangi $126$ dengan $147$ .

$f' (- 7) = 21$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $21$ .

$21$

Langkah 5.3

Pada $x = - 7$ , turunannya adalah $21$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 6)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 6)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 6, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 18 (- 3)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 + 18 (- 3)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = 27 + 18 (- 3)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $18$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = 27 - 54$

Langkah 6.2.2

Kurangi $54$ dengan $27$ .

$f' (- 3) = - 27$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 27$ .

$- 27$

Langkah 6.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $- 27$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 6, 0)$ .

Menurun pada $(- 6, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 18 (1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 18 (1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (1) = 3 + 18 (1)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $18$ dengan $1$ .

$f' (1) = 3 + 18$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $3$ dan $18$ .

$f' (1) = 21$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $21$ .

$21$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $21$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 6), (0, \infty)$

Menurun pada: $(- 6, 0)$

Langkah 9