Kalkulus Contoh

$y = x \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $y = x \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Langkah 2.3.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$1 + \ln (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Langkah 3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 + \ln (x) = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Langkah 5.1.3.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 + \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\ln (x) = - 1$

Langkah 6.3

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $\ln (x) = - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Langkah 6.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Langkah 6.5.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 7.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{1}{e}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 e$

Langkah 10.2

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$e$

Langkah 11

$x = \frac{1}{e}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{1}{e}$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{e}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{e}$ sebagai $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Langkah 12.2.2

Tulis kembali $\ln (1 e^{- 1})$ sebagai $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Langkah 12.2.3

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 1$ keluar dari eksponen.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Langkah 12.2.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Langkah 12.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Langkah 12.2.6

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Langkah 12.2.7

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Langkah 12.2.8

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Langkah 12.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Langkah 12.2.10

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ adalah minimum lokal

Langkah 14