Kalkulus Contoh

$x^{3} e^{- 4 x}$

Langkah 1

Tulis $x^{3} e^{- 4 x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{3} e^{- 4 x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- 4 x}) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 4 x$ .

$f' (x) = x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 4 x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 4 x$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{3} (e^{- 4 x} \cdot - 4) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.3.3.2

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = x^{3} (- 4 \cdot e^{- 4 x}) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} (- 4 e^{- 4 x}) + e^{- 4 x} (3 x^{2})$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 4 e^{- 4 x} x^{3} + 3 e^{- 4 x} x^{2}$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 4 e^{- 4 x} x^{3} + 3 e^{- 4 x} x^{2}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$ .

$- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $x^{2} e^{- 4 x}$ dari $- 4 x^{3} e^{- 4 x} + 3 x^{2} e^{- 4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $x^{2} e^{- 4 x}$ dari $- 4 x^{3} e^{- 4 x}$ .

$x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x) + 3 x^{2} e^{- 4 x} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $x^{2} e^{- 4 x}$ dari $3 x^{2} e^{- 4 x}$ .

$x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x) + x^{2} e^{- 4 x} (3) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $x^{2} e^{- 4 x}$ dari $x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x) + x^{2} e^{- 4 x} (3)$ .

$x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x + 3) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- 4 x} = 0$

$- 4 x + 3 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $e^{- 4 x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $e^{- 4 x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- 4 x} = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $e^{- 4 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (0)$

Langkah 3.5.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.5.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- 4 x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.6

Atur $- 4 x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Atur $- 4 x + 3$ sama dengan $0$ .

$- 4 x + 3 = 0$

Langkah 3.6.2

Selesaikan $- 4 x + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x = - 3$

Langkah 3.6.2.2

Bagi setiap suku pada $- 4 x = - 3$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x = - 3$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Langkah 3.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Langkah 3.6.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 4}$

Langkah 3.6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{3}{4}$

Langkah 3.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x^{2} e^{- 4 x} (- 4 x + 3) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, \frac{3}{4}$ .

$0, \frac{3}{4}$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} e^{- 4 \cdot - 1} + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = - 4 \cdot (- 1 e^{- 4 \cdot - 1}) + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{- 4 \cdot - 1} + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 {(- 1)}^{2} e^{- 4 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 \cdot (1 e^{- 4 \cdot - 1})$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 e^{- 4 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 e^{4} + 3 e^{4}$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $4 e^{4}$ dan $3 e^{4}$ .

$f' (- 1) = 7 e^{4}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7 e^{4}$ .

$7 e^{4}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $7 e^{4}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{3}{4})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.375$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.375) = - 4 {(0.375)}^{3} e^{- 4 \cdot 0.375} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.375$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (0.375) = - 4 \cdot (0.05273437 e^{- 4 \cdot 0.375}) + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $0.05273437$ .

$f' (0.375) = - 0.2109375 e^{- 4 \cdot 0.375} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $0.375$ .

$f' (0.375) = - 0.2109375 e^{- 1.5} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.375) = - 0.2109375 \frac{1}{e^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.5

Gabungkan $- 0.2109375$ dan $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (0.375) = \frac{- 0.2109375}{e^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (0.375) = - \frac{0.2109375}{e^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.7

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (0.375) = - \frac{0.2109375}{{2.71828182}^{1.5}} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.8

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $1.5$ .

$f' (0.375) = - \frac{0.2109375}{4.48168907} + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.9

Bagilah $0.2109375$ dengan $4.48168907$ .

$f' (0.375) = - 1 \cdot 0.04706651 + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $0.04706651$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 3 {(0.375)}^{2} e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.11

Naikkan $0.375$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 3 \cdot (0.140625 e^{- 4 \cdot 0.375})$

Langkah 7.2.1.12

Kalikan $3$ dengan $0.140625$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.421875 e^{- 4 \cdot 0.375}$

Langkah 7.2.1.13

Kalikan $- 4$ dengan $0.375$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.421875 e^{- 1.5}$

Langkah 7.2.1.14

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.421875 (\frac{1}{e^{1.5}})$

Langkah 7.2.1.15

Gabungkan $0.421875$ dan $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + \frac{0.421875}{e^{1.5}}$

Langkah 7.2.1.16

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (0.375) = - 0.04706651 + \frac{0.421875}{{2.71828182}^{1.5}}$

Langkah 7.2.1.17

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $1.5$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + \frac{0.421875}{4.48168907}$

Langkah 7.2.1.18

Bagilah $0.421875$ dengan $4.48168907$ .

$f' (0.375) = - 0.04706651 + 0.09413303$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 0.04706651$ dan $0.09413303$ .

$f' (0.375) = 0.04706651$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.04706651$ .

$0.04706651$

Langkah 7.3

Pada $x = 0.375$ , turunannya adalah $0.04706651$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \frac{3}{4})$ .

Meningkat pada $(0, \frac{3}{4})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{3}{4}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.75$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.75) = - 4 {(1.75)}^{3} e^{- 4 \cdot 1.75} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $1.75$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (1.75) = - 4 \cdot (5.359375 e^{- 4 \cdot 1.75}) + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $5.359375$ .

$f' (1.75) = - 21.4375 e^{- 4 \cdot 1.75} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $1.75$ .

$f' (1.75) = - 21.4375 e^{- 7} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.75) = - 21.4375 \frac{1}{e^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.5

Gabungkan $- 21.4375$ dan $\frac{1}{e^{7}}$ .

$f' (1.75) = \frac{- 21.4375}{e^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (1.75) = - \frac{21.4375}{e^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.7

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (1.75) = - \frac{21.4375}{{2.71828182}^{7}} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.8

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $7$ .

$f' (1.75) = - \frac{21.4375}{1096.63315842} + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.9

Bagilah $21.4375$ dengan $1096.63315842$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.01954846 + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $0.01954846$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 3 {(1.75)}^{2} e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.11

Naikkan $1.75$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 3 \cdot (3.0625 e^{- 4 \cdot 1.75})$

Langkah 8.2.1.12

Kalikan $3$ dengan $3.0625$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 9.1875 e^{- 4 \cdot 1.75}$

Langkah 8.2.1.13

Kalikan $- 4$ dengan $1.75$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 9.1875 e^{- 7}$

Langkah 8.2.1.14

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 9.1875 (\frac{1}{e^{7}})$

Langkah 8.2.1.15

Gabungkan $9.1875$ dan $\frac{1}{e^{7}}$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + \frac{9.1875}{e^{7}}$

Langkah 8.2.1.16

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (1.75) = - 0.01954846 + \frac{9.1875}{{2.71828182}^{7}}$

Langkah 8.2.1.17

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $7$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + \frac{9.1875}{1096.63315842}$

Langkah 8.2.1.18

Bagilah $9.1875$ dengan $1096.63315842$ .

$f' (1.75) = - 0.01954846 + 0.00837791$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 0.01954846$ dan $0.00837791$ .

$f' (1.75) = - 0.01117055$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.01117055$ .

$- 0.01117055$

Langkah 8.3

Pada $x = 1.75$ , turunannya adalah $- 0.01117055$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{3}{4}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{3}{4}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Menurun pada: $(\frac{3}{4}, \infty)$

Langkah 10