Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} + x - 7$ ; $[0, 14]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 14]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\int_{0}^{14} x^{2} + x - 7 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\int_{0}^{14} x^{2} d x + \int_{0}^{14} x d x + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \int_{0}^{14} x d x + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + \int_{0}^{14} - 7 d x)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + - 7 x]_{0}^{14})$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{14}$ dan $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14} + - 7 x]_{0}^{14})$

Langkah 9.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{14}$ dan $- 7 x]_{0}^{14}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 7 x]_{0}^{14})$

Langkah 9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 7 x$ pada $14$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3} + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Naikkan $14$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 2744 + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2744$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{1}{2} \cdot 14^{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.3

Naikkan $14$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{1}{2} \cdot 196 - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $196$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{196}{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $196$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $196$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2 (1)} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{2 \cdot 98}{2 \cdot 1} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{98}{1} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.5.2.4

Bagilah $98$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 98 - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.6

Untuk menuliskan $98$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 98 \cdot \frac{3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.7

Gabungkan $98$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + \frac{98 \cdot 3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744 + 98 \cdot 3}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.9.1

Kalikan $98$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744 + 294}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.9.2

Tambahkan $2744$ dan $294$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 7 \cdot 14 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.10

Kalikan $- 7$ dengan $14$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 98 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.11

Untuk menuliskan $- 98$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} - 98 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.12

Gabungkan $- 98$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038}{3} + \frac{- 98 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038 - 98 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.14.1

Kalikan $- 98$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{3038 - 294}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.14.2

Kurangi $294$ dengan $3038$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.15

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.16

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.17

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.18

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + 0 - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.19

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 - 7 \cdot 0))$

Langkah 9.2.2.20

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - (0 + 0))$

Langkah 9.2.2.21

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} - 0)$

Langkah 9.2.2.22

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3} + 0)$

Langkah 9.2.2.23

Tambahkan $\frac{2744}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 - 0} (\frac{2744}{3})$

Langkah 10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14 + 0} \cdot \frac{2744}{3}$

Langkah 10.2

Tambahkan $14$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{2744}{3}$

Langkah 11

Batalkan faktor persekutuan dari $14$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Faktorkan $14$ dari $2744$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 (196)}{3}$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 \cdot 196}{3}$

Langkah 11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{196}{3}$

Langkah 12