Kalkulus Contoh

$y = x^{\ln (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali $x^{\ln (x)}$ sebagai $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Langkah 3.1.2

Perluas $\ln (x^{\ln (x)})$ dengan memindahkan $\ln (x)$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Langkah 3.2

Naikkan $\ln (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Langkah 3.3

Naikkan $\ln (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Langkah 3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 3.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 3.8

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Langkah 3.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Langkah 3.9.2

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Langkah 3.9.3

Gabungkan $e^{\ln^{2} (x)}$ dan $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Langkah 3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Langkah 3.10.2

Kalikan $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1

Susun kembali $\ln (x)$ dan $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Langkah 3.10.2.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Langkah 3.10.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$