Kalkulus Contoh

$\frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1

Tulis $\frac{\ln (x)}{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 - \ln (x) = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \ln (x) = - 1$

Langkah 3.3.2

Bagi setiap suku pada $- \ln (x) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (x) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.3.2.2.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Langkah 3.3.3

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali $\ln (x) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Langkah 3.3.5

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{1}$ .

$x = e$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $e$ .

$e$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 5.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.3

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 5.4

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

Langkah 7

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, e)$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, e)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.35914085$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Naikkan $1.35914085$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

Langkah 8.2.2

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

Langkah 8.2.3

Basis log $2.71828182$ dari $1.35914085$ adalah sekitar $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

Langkah 8.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $0.30685277$ .

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

Langkah 8.2.5

Kurangi $0.30685277$ dengan $1$ .

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

Langkah 8.2.6

Bagilah $0.69314722$ dengan $1.84726385$ .

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

Langkah 8.2.7

Jawaban akhirnya adalah $0.37522914$ .

$0.37522914$

Langkah 8.3

Pada $x = 1.35914085$ , turunannya adalah $0.37522914$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, e)$ .

Meningkat pada $(0, e)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, e), (e, \infty)$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(e, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.7182817$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Naikkan $3.7182817$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

Langkah 10.2.2

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

Langkah 10.2.3

Basis log $2.71828182$ dari $3.7182817$ adalah sekitar $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

Langkah 10.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1.31326165$ .

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

Langkah 10.2.5

Kurangi $1.31326165$ dengan $1$ .

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

Langkah 10.2.6

Bagilah $- 0.31326165$ dengan $13.8256188$ .

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

Langkah 10.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- 0.02265805$ .

$- 0.02265805$

Langkah 10.3

Pada $x = 3.7182817$ , turunannya adalah $- 0.02265805$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(e, \infty)$ .

Menurun pada $(e, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 11

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, e)$

Menurun pada: $(e, \infty)$

Langkah 12