Kalkulus Contoh

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

Langkah 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

Langkah 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

Langkah 2.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} - 27 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 27 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 27 y$ terhadap $x$ adalah $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' - 27 y'$

Langkah 2.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 90$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

Langkah 2.3.3

Karena $- 90$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 90$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

Langkah 2.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y' - 27 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

Langkah 2.5.1.2

Faktorkan $3 y'$ dari $- 27 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

Langkah 2.5.1.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ .

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

Langkah 2.5.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 3$ .

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

Langkah 2.5.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

Langkah 2.5.4

Bagi setiap suku pada $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ dengan $3 (y + 3) (y - 3)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ dengan $3 (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 2.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 2.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 2.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 2.5.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 2.5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 2.5.4.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 2.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 90$

Langkah 4.2.2

Kurangi $90$ dengan $0$ .

$f (0) = - 90$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 90$ .

$- 90$

Langkah 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

Langkah 6