Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x - 12$ ; $[2, 6]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$4 x - 12 = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $4 x - 12 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $12$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x = 12$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x = 12$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 12$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{12}{4}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Bagilah $12$ dengan $4$ .

$x = 3$

Langkah 1.3

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(3, 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{2}^{3} 0 d x - \int_{2}^{3} 4 x - 12 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $2$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{2}^{3} 0 - (4 x - 12) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $4 x - 12$ dengan $0$ .

$\int_{2}^{3} - (4 x - 12) d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{2}^{3} - (4 x) + 12 d x$

Langkah 3.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 x - - 12$

Langkah 3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$- 4 x + 12$

$\int_{2}^{3} - 4 x + 12 d x$

Langkah 3.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{2}^{3} - 4 x d x + \int_{2}^{3} 12 d x$

Langkah 3.6

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$- 4 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} 12 d x$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 12 d x$

Langkah 3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 12 d x$

Langkah 3.9

Terapkan aturan konstanta.

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + 12 x]_{2}^{3}$

Langkah 3.10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $3$ dan pada $2$ .

$- 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) + 12 x]_{2}^{3}$

Langkah 3.10.2

Evaluasi $12 x$ pada $3$ dan pada $2$ .

$- 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - 2) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.5

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.8.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- 4 \frac{9 - 4}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.8.2

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$- 4 (\frac{5}{2}) + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.9

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.10

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$\frac{- 20}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 20$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $- 20$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2 (1)} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 10}{1} + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.11.2.4

Bagilah $- 10$ dengan $1$ .

$- 10 + 12 \cdot 3 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.12

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$- 10 + 36 - 12 \cdot 2$

Langkah 3.10.3.13

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$- 10 + 36 - 24$

Langkah 3.10.3.14

Kurangi $24$ dengan $36$ .

$- 10 + 12$

Langkah 3.10.3.15

Tambahkan $- 10$ dan $12$ .

$2$

Langkah 4

$A r e a = \int_{3}^{6} 4 x - 12 d x - \int_{3}^{6} 0 d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{3}^{6} 4 x - 12 - (0) d x$

Langkah 5.2

Kurangi $0$ dengan $4 x - 12$ .

$\int_{3}^{6} 4 x - 12 d x$

Langkah 5.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{3}^{6} 4 x d x + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Langkah 5.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{3}^{6} x d x + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Langkah 5.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + \int_{3}^{6} - 12 d x$

Langkah 5.7

Terapkan aturan konstanta.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{6}) + - 12 x]_{3}^{6}$

Langkah 5.8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $6$ dan pada $3$ .

$4 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + - 12 x]_{3}^{6}$

Langkah 5.8.2

Evaluasi $- 12 x$ pada $6$ dan pada $3$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$4 (\frac{36}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.2.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$4 (18 - \frac{3^{2}}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$4 (18 - \frac{9}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.4

Untuk menuliskan $18$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.5

Gabungkan $18$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{18 \cdot 2 - 9}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.7.1

Kalikan $18$ dengan $2$ .

$4 \frac{36 - 9}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.7.2

Kurangi $9$ dengan $36$ .

$4 (\frac{27}{2}) - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.8

Gabungkan $4$ dan $\frac{27}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 27}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.9

Kalikan $4$ dengan $27$ .

$\frac{108}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $108$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.10.1

Faktorkan $2$ dari $108$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2 (1)} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{54}{1} - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.10.2.4

Bagilah $54$ dengan $1$ .

$54 - 12 \cdot 6 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.11

Kalikan $- 12$ dengan $6$ .

$54 - 72 + 12 \cdot 3$

Langkah 5.8.3.12

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$54 - 72 + 36$

Langkah 5.8.3.13

Tambahkan $- 72$ dan $36$ .

$54 - 36$

Langkah 5.8.3.14

Kurangi $36$ dengan $54$ .

$18$

Langkah 6

Tambahkan $2$ dan $18$ .

$20$

Langkah 7