Kalkulus Contoh

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

Langkah 1

Akar Rata-Rata Kuadrat (RMS) dari fungsi $f$ di sepanjang interval tertentu $[a, b]$ adalah akar kuadrat dari rata-rata (rerata) aritmetik dari kuadrat nilai-nilai aslinya.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Langkah 2

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk akar rata-rata kuadrat dari fungsi.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

Langkah 3

Evaluasi integralnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

Langkah 3.6

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 3.6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 3.6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

Langkah 3.6.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$u_{lower} = - 4$

Langkah 3.6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Langkah 3.6.5

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$u_{upper} = 8$

Langkah 3.6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

Langkah 3.6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 3.7

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 3.8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

Langkah 3.9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Langkah 3.10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Evaluasi $x$ pada $4$ dan pada $- 2$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

Langkah 3.10.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $8$ dan pada $- 4$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

Langkah 3.10.3

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1.1

Evaluasi $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

Langkah 3.11.1.1.2

Evaluasi $\sin (- 4)$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

Langkah 3.11.1.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0.75680249$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

Langkah 3.11.1.2

Kurangi $0.75680249$ dengan $0.98935824$ .

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

Langkah 3.11.1.3

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.3.1

Kalikan $0.23255575$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

Langkah 3.11.1.3.2

Gabungkan $- 0.23255575$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

Langkah 3.11.1.4

Bagilah $- 0.23255575$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

Langkah 3.11.2

Kurangi $0.11627787$ dengan $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

Langkah 3.11.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $5.88372212$ .

$\frac{5.88372212}{2}$

Langkah 3.11.4

Bagilah $5.88372212$ dengan $2$ .

$2.94186106$

Langkah 4

Sederhanakan rumus akar rata-rata kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{4 + 2}$ dan $2.94186106$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

Langkah 4.2.2

Bagilah $2.94186106$ dengan $6$ .

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

Bentuk Desimal:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$