Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Langkah 1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $x e^{- x}$ dari $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x e^{- x}$ dari $- x^{2} e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + 2 x e^{- x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $x e^{- x}$ dari $2 x e^{- x}$ .

$x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $x e^{- x}$ dari $x e^{- x} (- x) + x e^{- x} (2)$ .

$x e^{- x} (- x + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $e^{- x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $e^{- x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $e^{- x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Langkah 2.5.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.5.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.6

Atur $- x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $- x + 2$ sama dengan $0$ .

$- x + 2 = 0$

Langkah 2.6.2

Selesaikan $- x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 2$

Langkah 2.6.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.6.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x = 2$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x e^{- x} (- x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 2$ .

$0, 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.4

Sederhanakan.

$f' (- 1) = - 1 e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.5

Tulis kembali $- 1 e$ sebagai $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 2 (- 1) \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 \cdot e^{- (- 1)}$

Langkah 5.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 2 e$

Langkah 5.2.2

Kurangi $2 e$ dengan $- e$ .

$f' (- 1) = - 3 e$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3 e$ .

$- 3 e$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 3 e$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Langkah 6.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Langkah 6.2.1.5

Tulis kembali $- 1 \frac{1}{e}$ sebagai $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)}$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)}$

Langkah 6.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2.1.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e}$

Langkah 6.2.1.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$f' (1) = \frac{1}{e}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{1}{e}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 2)$ .

Meningkat pada $(0, 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - {(3)}^{2} e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = - 1 \cdot (9 e^{- (3)}) + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$f' (3) = - 9 e^{- (3)} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (3) = - 9 e^{- 3} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 9 \frac{1}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2.1.5

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = \frac{- 9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 2 (3) \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2.1.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- (3)}$

Langkah 7.2.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot e^{- 3}$

Langkah 7.2.1.9

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Langkah 7.2.1.10

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (3) = - \frac{9}{e^{3}} + \frac{6}{e^{3}}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (3) = \frac{- 9 + 6}{e^{3}}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Tambahkan $- 9$ dan $6$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{e^{3}}$

Langkah 7.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (3) = - \frac{3}{e^{3}}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{e^{3}}$ .

$- \frac{3}{e^{3}}$

Langkah 7.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- \frac{3}{e^{3}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(2, \infty)$ .

Menurun pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, 2)$

Menurun pada: $(- \infty, 0), (2, \infty)$

Langkah 9