Kalkulus Contoh

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Langkah 1

Tulis $\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

Langkah 4

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

Langkah 5

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

Langkah 5.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

Langkah 5.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

Langkah 5.1.3

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$5 x^{2} + 15 x$

Langkah 5.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

Langkah 5.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 5.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

Langkah 5.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Langkah 5.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

Langkah 5.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{2}$

Langkah 5.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Naikkan $15$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

Langkah 5.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$e = 0 - \frac{225}{20}$

Langkah 5.5.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $225$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.3.1

Faktorkan $5$ dari $225$ .

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

Langkah 5.5.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $20$ .

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Langkah 5.5.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

Langkah 5.5.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{45}{4}$

Langkah 5.5.2.2

Kurangi $\frac{45}{4}$ dengan $0$ .

$e = - \frac{45}{4}$

Langkah 5.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = x + \frac{3}{2}$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = x + \frac{3}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{3}{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

Langkah 6.1.4

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

Langkah 7

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $5$ dari $5 u^{2} - \frac{45}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 u^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $5$ dari $- \frac{45}{4}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

Langkah 7.1.3

Faktorkan $5$ dari $5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

Langkah 7.2

Tulis kembali $\frac{9}{4}$ sebagai ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

Langkah 8

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = u$ dan $b = \frac{3}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Langkah 9

Untuk menuliskan $u$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Langkah 10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $u$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

Langkah 10.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Langkah 11

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

Langkah 12

Untuk menuliskan $u$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Langkah 13

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $u$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

Langkah 13.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

Langkah 14

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Langkah 15

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{2 u + 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

Langkah 15.2

Kalikan $\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ dengan $\frac{2 u - 3}{2}$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

Langkah 15.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

Langkah 16

Tulis kembali $\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

Langkah 16.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

Langkah 16.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

Langkah 17

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

Langkah 17.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ .

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Langkah 17.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Langkah 17.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

Langkah 17.4.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

Langkah 18

Perluas $(10 u + 15) (2 u - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Langkah 18.2

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

Langkah 18.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Langkah 19

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Langkah 19.1.2

Kalikan $u$ dengan $u$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.2.1

Pindahkan $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Langkah 19.1.2.2

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Langkah 19.1.3

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Langkah 19.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $10$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Langkah 19.1.5

Kalikan $2$ dengan $15$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

Langkah 19.1.6

Kalikan $15$ dengan $- 3$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

Langkah 19.2

Tambahkan $- 30 u$ dan $30 u$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

Langkah 19.3

Tambahkan $20 u^{2}$ dan $0$ .

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

Langkah 20

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

Langkah 21

Biarkan $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ positif.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan $\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.4

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.5

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.6

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.6.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.6.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sec (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.9.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.10

Kalikan $9$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.2

Faktorkan $45$ dari $45 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.3

Faktorkan $45$ dari $- 45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.4

Faktorkan $45$ dari $45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.6

Tulis kembali $45 \tan^{2} (t)$ sebagai ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.6.1

Faktorkan $9$ dari $45$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.6.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.6.3

Pindahkan $5$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.6.4

Tulis kembali $3^{2} \tan^{2} (t)$ sebagai ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Langkah 22.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Gabungkan $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ dan $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Langkah 22.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

Langkah 22.2.3

Gabungkan $\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ dan $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Langkah 22.2.4

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Langkah 22.2.5

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Langkah 22.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

Langkah 22.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Langkah 22.2.8

Gabungkan $\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ dan $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Langkah 23

Karena $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Langkah 24

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Kalikan $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 24.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 25

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 26

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 27

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 27.2

Sederhanakan setiap suku.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Langkah 28

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 29

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 30

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 31

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Langkah 32

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sec (t)$ dan $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Langkah 33

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Langkah 34

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 35

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Langkah 36

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 36.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 36.2

Susun kembali $\tan^{2} (t)$ dan $\sec (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Langkah 37

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Langkah 38

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 38.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Langkah 38.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Langkah 38.3

Susun kembali $\sec (t)$ dan $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Langkah 39

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Langkah 40

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 41

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Langkah 42

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 43

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Langkah 44

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Langkah 45

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 46

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Langkah 47

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Langkah 48

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Langkah 49

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 49.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 49.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 50

Ketika menyelesaikan $\int \sec^{3} (t) d t$ , kami menemukan bahwa $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Langkah 51

Kalikan $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ dengan $1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Langkah 52

Sederhanakan.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Langkah 53

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 53.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Langkah 53.2

Tambahkan $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ dan $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Langkah 53.3

Kalikan $\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ dengan $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 53.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Langkah 54

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 54.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 54.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + \frac{3}{2}$ .

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 55.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 55.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 55.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 55.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 55.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 55.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 55.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 55.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 55.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

Langkah 56

Susun kembali suku-suku.

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

Langkah 57

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$