Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2} + 4 x - 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 5

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int (x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7

Perluas $(x^{2} + 4 x - 4) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (x^{2} + 4 x) x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.4

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.7.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.8

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{1 - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.10

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.12

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.13

Susun kembali $x^{\frac{3}{2}}$ dan $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 4 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 13

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 15.2.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$