Kalkulus Contoh

$2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Gabungkan $\sec^{2} (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9.3

Kalikan $\int \sec^{2} (u) d u$ dengan $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 10

Karena turunan dari $\tan (u)$ adalah $\sec^{2} (u)$ , maka integral dari $\sec^{2} (u)$ adalah $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\tan (u) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 12

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 12.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (u) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 12.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int x^{- 2} d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\tan (u) + C - (- x^{- 1} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan.

$\tan (u) - - \frac{1}{x} + C$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\tan (u) + 1 \frac{1}{x} + C$

Langkah 14.2.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\tan (u) + \frac{1}{x} + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$