Kalkulus Contoh

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Langkah 1

Tulis $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ sebagai fungsi.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 6

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $48$ keluar dari integral.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Langkah 7

Kalikan $48$ dengan $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 8

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Langkah 8.1.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Langkah 8.1.1.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Langkah 8.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x + 1)$ .

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 8.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 8.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Langkah 8.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.7.1.2

Bagilah $(A) \cdot (2^{2})$ dengan $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.7.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.7.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Langkah 8.1.7.4

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.7.4.1

Faktorkan $x + 1$ dari $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Langkah 8.1.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.7.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 8.1.7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 8.1.7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Langkah 8.1.7.4.2.4

Bagilah $B (2^{2} (x + 1))$ dengan $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Langkah 8.1.7.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Langkah 8.1.7.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Langkah 8.1.7.7

Terapkan sifat distributif.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Langkah 8.1.7.8

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Langkah 8.1.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.8.1

Pindahkan $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Langkah 8.1.8.2

Susun kembali $4 A$ dan $4 x B$ .

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Langkah 8.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = 4 B$

Langkah 8.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = 4 A + 4 B$

Langkah 8.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Langkah 8.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Selesaikan $B$ dalam $0 = 4 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Langkah 8.3.1.2

Bagi setiap suku pada $4 B = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Bagilah setiap suku di $4 B = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Langkah 8.3.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Langkah 8.3.1.2.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Langkah 8.3.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Langkah 8.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $0$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $1 = 4 A + 4 B$ dengan $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Langkah 8.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Sederhanakan $4 A + 4 (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Langkah 8.3.2.2.1.2

Tambahkan $4 A$ dan $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Langkah 8.3.3

Selesaikan $A$ dalam $1 = 4 A$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = 0$

Langkah 8.3.3.2

Bagi setiap suku pada $4 A = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $4 A = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Langkah 8.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Langkah 8.3.3.2.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Langkah 8.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Langkah 8.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Langkah 8.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Langkah 8.5.2

Gabungkan.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Langkah 8.5.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Langkah 8.5.4

Bagilah $0$ dengan $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Langkah 8.5.5

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 10.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 48$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 48$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 10.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 10.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 10.2.2.4

Bagilah $- 12$ dengan $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Langkah 11

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 11.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 11.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 11.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Langkah 12

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Langkah 12.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Langkah 12.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Langkah 14

Terapkan aturan konstanta.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Langkah 15.2.2

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$