Kalkulus Contoh

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Langkah 1

Tulis $3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Langkah 4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = 1 - 2 x$ dan $d v = \sqrt{x}$ .

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $- 2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

Langkah 6.4

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 6.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 8.2

Kalikan $\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ dengan $1$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Langkah 9

Karena $\frac{4}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{4}{3}$ keluar dari integral.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Langkah 11.2

Tulis kembali $3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ sebagai $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Untuk menuliskan $- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Langkah 11.3.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Kalikan $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Langkah 11.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Langkah 11.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Langkah 11.3.4

Kalikan $5$ dengan $- 4$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Langkah 11.3.5

Tambahkan $- 20 x^{\frac{5}{2}}$ dan $8 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Langkah 11.3.6

Faktorkan $3$ dari $- 12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

Langkah 11.3.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

Langkah 11.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Langkah 11.3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Terapkan sifat distributif.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.4.3

Kalikan $3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 11.4.3.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Langkah 11.4.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 11.4.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$