Kalkulus Contoh

$\sin^{-1} (d x)$

Langkah 1

Tulis $\sin^{-1} (d x)$ sebagai fungsi.

$f (d) = \sin^{-1} (d x)$

Langkah 2

Fungsi $F (d)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (d)$ .

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (d) = \int \sin^{-1} (d x) d \cdot d$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin^{-1} (d x)$ dan $d v = 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int d \frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Langkah 5

Gabungkan $d$ dan $\frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int \frac{d x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Langkah 6

Karena $x$ konstan terhadap $d$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$\sin^{-1} (d x) d - (x \int \frac{d}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d)$

Langkah 7

Biarkan $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 \cdot d x^{2} d \cdot d$ sehingga $\frac{1}{- 2 x^{2}} d u = d \cdot d \cdot d$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d \cdot d}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1 - d^{2} x^{2}]$

Langkah 7.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - d^{2} x^{2}$ terhadap $d$ adalah $\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Langkah 7.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $d$ , turunan dari $1$ terhadap $d$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Langkah 7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Karena $- x^{2}$ konstan terhadap $d$ , turunan dari $- d^{2} x^{2}$ terhadap $d$ adalah $- x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$ .

$0 - x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$

Langkah 7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ adalah $n d^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - x^{2} (2 d)$

Langkah 7.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x^{2} d$

Langkah 7.1.4

Kurangi $2 x^{2} d$ dengan $0$ .

$- 2 x^{2} d$

Langkah 7.1.5

Susun kembali $- 2 x^{2}$ dan $d$ .

$d (- 2 x^{2})$

Langkah 7.1.6

Susun kembali $d$ dan $- 2$ .

$- 2 \cdot d x^{2}$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2 x^{2}} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2 x^{2}}) d u$

Langkah 8.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{\sqrt{u} (2 x^{2})} d u$

Langkah 8.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\sin^{-1} (d x) d - x (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + 1 x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2 x^{2}}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2 x^{2}}$ keluar dari integral.

$\sin^{-1} (d x) d + x (\frac{1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{2}}$ dan $x$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 12.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x^{1}}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 12.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 12.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{2}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 12.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 12.1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 12.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 12.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 12.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 12.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 12.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tulis kembali $\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 x}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 14.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 14.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 14.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (d) = \sin^{-1} (d x)$ .

$F (d) =$ $\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$