Kalkulus Contoh

$\sin (\ln (x))$

Langkah 1

Tulis $\sin (\ln (x))$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Langkah 5

Susun kembali $e^{u}$ dan $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Langkah 6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = \sin (u)$ dan $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Langkah 7

Susun kembali $e^{u}$ dan $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Langkah 8

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = \cos (u)$ dan $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Langkah 10

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Langkah 10.2

Kalikan $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ dengan $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Langkah 10.3

Terapkan sifat distributif.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Langkah 11

Ketika menyelesaikan $\int e^{u} \sin (u) d u$ , kami menemukan bahwa $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Langkah 12

Tulis kembali $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ sebagai $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Langkah 14.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Langkah 14.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Langkah 14.4

Kalikan $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Gabungkan $\sin (\ln (x))$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Langkah 14.4.2

Gabungkan $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ dan $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Langkah 14.5

Kalikan $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Langkah 14.5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Langkah 14.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Langkah 15

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$