Kalkulus Contoh

$\sec^{3} (θ)$

Langkah 1

Tulis $\sec^{3} (θ)$ sebagai fungsi.

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

Langkah 2

Fungsi $F (θ)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

Langkah 4

Faktorkan $\sec (θ)$ dari $\sec^{3} (θ)$ .

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sec (θ)$ dan $d v = \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Langkah 6

Naikkan $\tan (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

Langkah 7

Naikkan $\tan (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Langkah 8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Langkah 9.2

Susun kembali $\tan^{2} (θ)$ dan $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

Langkah 10

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (θ)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

Langkah 11

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Langkah 11.2

Terapkan sifat distributif.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Langkah 11.3

Susun kembali $\sec (θ)$ dan $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Langkah 12

Naikkan $\sec (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

Langkah 13

Naikkan $\sec (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Langkah 14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Langkah 15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Langkah 16

Naikkan $\sec (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

Langkah 17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

Langkah 18

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

Langkah 19

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Langkah 20

Karena $- 1$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Langkah 21

Integral dari $\sec (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Langkah 22

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Terapkan sifat distributif.

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Langkah 22.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Langkah 23

Ketika menyelesaikan $\int \sec^{3} (θ) d θ$ , kami menemukan bahwa $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

Langkah 24

Kalikan $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ dengan $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

Langkah 25

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

Langkah 26

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$