Kalkulus Contoh

$\sin^{3} (2 x)$

Langkah 1

Tulis $\sin^{3} (2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin^{3} (2 x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin^{3} (2 x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5

Gabungkan $\sin^{3} (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Faktorkan $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Langkah 9.1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\cos^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{\cos^{3} (2 x)}{3}) + C$

Langkah 15.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Langkah 15.4

Gabungkan.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1 \cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Langkah 15.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Kalikan $\cos^{3} (2 x)$ dengan $1$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Langkah 15.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{6} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$