Kalkulus Contoh

$x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Langkah 1

Tulis $x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Langkah 4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Langkah 4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{1 + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Langkah 4.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{3 + 1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Langkah 4.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 4.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Langkah 4.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Langkah 4.4.3

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Langkah 4.4.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Langkah 4.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Langkah 4.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Langkah 4.4.6.2

Tambahkan $1$ dan $6$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{4}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Langkah 7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{7}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{9}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Langkah 9.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{6}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Langkah 9.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 (2)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Langkah 9.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Langkah 9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Langkah 9.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Langkah 10

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$