Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan suku $7$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{7 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{7 \cdot 0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{7 \cdot 0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.5.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0^{2} + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0^{2} + \sin (3 \cdot 0)}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Langkah 1.3.6.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Langkah 1.3.6.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x - \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + \sin (3 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

Langkah 3.7.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) \cdot 3}$

Langkah 3.7.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + 3 \cos (3 x)}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $7$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{7 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Langkah 7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}$

Langkah 9

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}$

Langkah 10

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Langkah 11

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Langkah 12

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 13

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{7 - \cos (0)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{7 - \cos (0)}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 13.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{7 - \cos (0)}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{7 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Langkah 14.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{7 - 1}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Langkah 14.1.3

Kurangi $1$ dengan $7$ .

$\frac{6}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Langkah 14.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Langkah 14.2.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cos (0)}$

Langkah 14.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cdot 1}$

Langkah 14.2.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{6}{0 + 3}$

Langkah 14.2.5

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{6}{3}$

Langkah 14.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

Langkah 14.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Langkah 14.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Langkah 14.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1}$

Langkah 14.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$