Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}}$ sebagai $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{13}{2 \ln (x)}})$ dengan memindahkan $\frac{13}{2 \ln (x)}$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{13}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{13}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{13}{2 \ln (x)}$ dan $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{13 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

Langkah 2.3

Pindahkan suku $\frac{13}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Langkah 3.1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Langkah 3.1.3

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 3.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{13}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.7

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.9

Kalikan $\frac{2}{1 + 2 x}$ dengan $1$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.10

Susun kembali suku-suku.

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Langkah 3.3.11

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{2}{2 x + 1}$ dan $x$ .

$e^{\frac{13}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Langkah 4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

Langkah 5

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Langkah 6.2.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

Langkah 6.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Langkah 6.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Langkah 6.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Langkah 6.6

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{13}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{13 \frac{1}{2 + 0}}$

Langkah 8.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$e^{13 (\frac{1}{2})}$

Langkah 8.3

Gabungkan $13$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{13}{2}}$