Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 4} \ln (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (lim_{x \to 4} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $4$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Langkah 1.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Langkah 1.2.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Langkah 1.3.1.3

Evaluasi limit dari $16$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $4$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Langkah 1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{4}{x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.5

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.6

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{4}{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.9

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Langkah 3.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Langkah 3.12

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

Langkah 3.13

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x (2 x)}$

Langkah 5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

Langkah 5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

Langkah 5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Langkah 5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{2}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 6.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Langkah 6.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Langkah 6.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $4$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4^{2}}$

Langkah 8.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(2^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}$

Langkah 8.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4}}$

Langkah 8.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{1 + 4}}$

Langkah 8.3.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{1}{2^{5}}$

Langkah 8.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$\frac{1}{32}$