Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Langkah 1

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Langkah 2

Evaluasi batas-batasnya dengan memasukkan nilai untuk variabel.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\cot (0)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Langkah 2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Langkah 2.4

Karena $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ tidak terdefinisi, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$

Langkah 3

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Langkah 4

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Langkah 4.1.1.2

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan, nilai fungsinya meningkat tanpa batas.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Langkah 4.1.1.3

Ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, $\ln (x)$ menurun tanpa batas.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 4.1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{\infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Langkah 4.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Langkah 4.1.3.2

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Langkah 4.1.3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Langkah 4.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Langkah 4.2

Tulis kembali $- \csc^{2} (x) x$ sebagai $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.3.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Langkah 4.3.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.3.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.3.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.3.3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 4.3.3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 4.3.3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 4.3.3.6

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Langkah 4.3.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Langkah 4.3.3.8

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Langkah 4.3.3.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Langkah 4.3.3.10

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Langkah 4.3.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.11.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Langkah 4.3.3.11.2

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Langkah 4.3.3.11.3

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 4.3.3.11.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.11.4.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 4.3.3.11.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 4.3.3.11.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 4.3.3.11.5

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Langkah 4.3.4

Pisahkan pecahan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Langkah 4.3.5

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (2 x)}$ ke $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Langkah 4.3.6

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Langkah 4.4

Karena fungsi $\csc (2 x)$ mendekati $\infty$ , konstanta negatif $- 1$ kali fungsi mendekati $- \infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $- 1$ dihapus.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Langkah 4.4.2

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan, nilai fungsinya meningkat tanpa batas.

$\infty$

Langkah 4.4.3

Karena fungsi $\csc (2 x)$ mendekati $\infty$ , konstanta negatif $- 1$ kali fungsi mendekati $- \infty$ .

$- \infty$

Langkah 5

Jika limit satu arah tidak ada, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$