Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Langkah 1.3.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Langkah 1.3.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Langkah 1.3.3.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Langkah 3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \ln (\sec (x))$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Langkah 3.6

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Langkah 3.7

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Langkah 3.8

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 3.9

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Langkah 3.10

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1

Tambahkan tanda kurung.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Langkah 3.11.1.2

Susun kembali $\cos (x)$ dan $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Langkah 3.11.1.3

Tulis kembali $2 \cos (x) \sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Langkah 3.11.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Langkah 3.11.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Langkah 3.11.3

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 3.11.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Langkah 6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Langkah 6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Langkah 7

Konversikan dari $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ ke $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Langkah 8

Pertimbangkan limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Langkah 9

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kiri.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Langkah 10

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ , nilai fungsinya mendekati $1$ . Jadi, limit dari $x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kiri adalah $1$ .

$1$

Langkah 11

Pertimbangkan limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Langkah 12

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Langkah 13

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ , nilai fungsinya mendekati $1$ . Jadi, limit dari $x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan adalah $1$ .

$1$