Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Langkah 1.2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Langkah 1.3.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.5.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Langkah 3.6

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{1}{\cos (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2}) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \cos (x^{2}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 5.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2}) \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$ dan $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x^{2})$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)}$ dan $\cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$

Langkah 6

Konversikan dari $\frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$ ke $- 2 \cos (x) x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) x \cot (x)$

Langkah 7

Pindahkan suku $- 2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) x \cot (x)$

Langkah 8

Pertimbangkan limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x) x \cot (x)$

Langkah 9

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $\cos (x) x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kiri.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99168527 \\ - 0.01 & 0.99991666 \\ - 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Langkah 10

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ , nilai fungsinya mendekati $1$ . Jadi, limit dari $\cos (x) x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kiri adalah $1$ .

$1$

Langkah 11

Pertimbangkan limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x \cot (x)$

Langkah 12

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $\cos (x) x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99168527 \\ 0.01 & 0.99991666 \\ 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Langkah 13

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ , nilai fungsinya mendekati $1$ . Jadi, limit dari $\cos (x) x \cot (x)$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan adalah $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 14

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$