Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Langkah 1.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan suku $5 π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{0}{\sin (5 π)}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Langkah 1.3.3.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 1.3.3.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Langkah 3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 5 π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Langkah 3.4

Karena $5 π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 π x$ terhadap $x$ adalah $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Langkah 3.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π)}$

Langkah 3.7

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \cdot 5 π}$

Langkah 3.8

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cdot \cos (5 π x) π}$

Langkah 3.9

Kalikan $5$ dengan $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cos (5 π x) π}$

Langkah 3.10

Susun kembali faktor-faktor dari $5 \cos (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 π \cos (5 π x)}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$

Langkah 5

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (5 π \cos (5 π x))}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\frac{1}{5 π}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{5 π} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (\cos (5 π x))}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Langkah 8

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Langkah 9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Langkah 10

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Langkah 11

Pindahkan suku $5 π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$

Langkah 13.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$ ke $\sec (5 π \cdot 1)$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π \cdot 1)$

Langkah 13.3

Kalikan $5 π$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π)$

Langkah 13.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (π)$

Langkah 13.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{5 π} (- \sec (0))$

Langkah 13.6

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{5 π} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 13.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot - 1$

Langkah 13.8

Gabungkan $\frac{1}{5 π}$ dan $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 π}$

Langkah 13.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{5 π}$