Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.2.1.3

Evaluasi limit dari $8$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 20}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan pangkat $4$ dari $x^{4}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 20}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 20}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit dari $20$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 20}$

Langkah 1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 20}$

Langkah 1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{4} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 20}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{0}{16 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 20}$

Langkah 1.3.6.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{0}{16 + 4 - 1 \cdot 20}$

Langkah 1.3.6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\frac{0}{16 + 4 - 20}$

Langkah 1.3.6.2

Tambahkan $16$ dan $4$ .

$\frac{0}{20 - 20}$

Langkah 1.3.6.3

Kurangi $20$ dengan $20$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{4} + 2 x - 20} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 8$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Langkah 3.4

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 2 x - 20$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Langkah 3.9

Karena $- 20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 20$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 + 0}$

Langkah 3.10

Tambahkan $4 x^{3} + 2$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2}$

Langkah 4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 lim_{x \to 2} \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 2}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$3 \frac{lim_{x \to 2} x^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 2}$

Langkah 6

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 2}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Langkah 8

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Langkah 10

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2}$

Langkah 11

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{2^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2}$

Langkah 11.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{2^{2}}{4 \cdot 2^{3} + 2}$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$3 \frac{4}{4 \cdot 2^{3} + 2}$

Langkah 12.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$3 \frac{4}{4 \cdot 8 + 2}$

Langkah 12.2.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$3 \frac{4}{32 + 2}$

Langkah 12.2.3

Tambahkan $32$ dan $2$ .

$3 (\frac{4}{34})$

Langkah 12.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$3 \frac{2 (2)}{34}$

Langkah 12.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $34$ .

$3 \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 17}$

Langkah 12.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 17}$

Langkah 12.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{2}{17})$

Langkah 12.4

Kalikan $3 (\frac{2}{17})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{17}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{17}$

Langkah 12.4.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6}{17}$