Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.1.4

Evaluasi limit dari $121$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.1.5

Evaluasi limit dari $11$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sqrt{0 + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Tambahkan $0$ dan $121$ .

$\frac{\sqrt{121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3.1.2

Tulis kembali $121$ sebagai $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{11 - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$\frac{11 - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $11$ dengan $11$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\tan (0)}$

Langkah 1.3.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{x + 121} - 11$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 121}$ sebagai ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 121)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 121$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 121$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.5

Karena $121$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $121$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.13

Kalikan $\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.14

Pindahkan ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.4

Karena $- 11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.6

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 5

Tulis kembali ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{x + 121}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 6

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{x + 121}}$ dengan $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Langkah 7

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Langkah 9

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 11

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 12

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 13

Evaluasi limit dari $121$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 14

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Langkah 15

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 16

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 16.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Langkah 17

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Gabungkan.

$\frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0))}$

Langkah 17.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Langkah 17.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Tambahkan $0$ dan $121$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{121} \sec^{2} (0)}$

Langkah 17.3.2

Tulis kembali $121$ sebagai $11^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{11^{2}} \sec^{2} (0)}$

Langkah 17.3.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \sec^{2} (0)}$

Langkah 17.3.4

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1^{2}}$

Langkah 17.3.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1}$

Langkah 17.3.6

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $11$ .

$\frac{1}{22 \cdot 1}$

Langkah 17.3.6.2

Kalikan $22$ dengan $1$ .

$\frac{1}{22}$