Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{x} - 1)}{x^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 (e^{x} - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{2 (lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{2 (e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.1.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{2 (e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 (e^{0} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (1 - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0^{2}}$

Langkah 1.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{x} - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (e^{x} - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (e^{x} - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 (e^{x} - 1)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x}}{2 x}$

Langkah 4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x}}{2 x}$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{x}$

Langkah 5

Karena fungsi mendekati $- \infty$ dari kiri dan $\infty$ dari kanan, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$