Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{1 - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.5.1.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

Langkah 1.3.1.2

Evaluasi limit dari $\frac{π}{4}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

Langkah 1.3.3.3

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\tan (x) - \cot (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.3

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - - \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $\csc^{2} (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{π}{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Langkah 3.7

Karena $- \frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + 0}$

Langkah 3.8

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1}$

Langkah 4

Bagilah $\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Langkah 6

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Langkah 7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Langkah 8

Pindahkan pangkat $2$ dari $\csc^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x))}^{2}$

Langkah 9

Pindahkan limit dalam fungsi trigonometri karena kosekan kontinu.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.2

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.4.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{1} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.5.5

Evaluasi eksponennya.

$2 + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 11.1.6

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{4})$ adalah $\sqrt{2}$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2}$

Langkah 11.1.7

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 11.1.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 11.1.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 11.1.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 11.1.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 + 2^{1}$

Langkah 11.1.7.5

Evaluasi eksponennya.

$2 + 2$

Langkah 11.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4$