Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.2.5.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{0} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = e^{x} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $e^{x} + x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x} + x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $e^{x} + 1$ dengan $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1 = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 5

Kalikan $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $\ln (y)$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 9

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 10

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 11

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 12

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Langkah 13

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Langkah 14

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Langkah 15

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Langkah 16

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Langkah 17

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 18

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 19

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 19.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 19.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 19.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 19.5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 19.6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Langkah 20

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (y) = \frac{1 + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Langkah 20.1.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (y) = \frac{2}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Langkah 20.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (y) = \frac{2}{1 + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Langkah 20.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\ln (y) = \frac{2}{1} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Langkah 20.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Langkah 20.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{1 + 1}{e^{0} + 0}$

Langkah 20.4.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{e^{0} + 0}$

Langkah 20.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.5.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{1 + 0}$

Langkah 20.5.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{1}$

Langkah 20.6

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\ln (y) = 2 = 2$