Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.2.2

Karena fungsi $e^{x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $6$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $6$ dihapus.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.2.2.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\infty + 5 lim_{x \to \infty} e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.2.4

Karena eksponen $- x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- x}$ mendekati $0$ .

$\frac{\infty + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $\infty$ dan $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Langkah 1.3.2

Karena fungsi $e^{x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $7$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $7$ dihapus.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Langkah 1.3.2.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi limit dari $4 e$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 4 e}$

Langkah 1.3.4

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.3.5

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 e^{x} + 5 e^{- x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.4.8

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 e^{x} + 4 e$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Langkah 3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Langkah 3.7

Karena $4 e$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 e$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + 0}$

Langkah 3.8

Tambahkan $7 e^{x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x}}$