Kalkulus Contoh

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit dari $\frac{π}{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.6

Evaluasi limit dari $0$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - lim_{h \to 0} h) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + 0) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.7.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1.1

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.7.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.2.7.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - h) - 0}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (\frac{π}{2} - h) - 0$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π}{2} - h)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ adalah $f' (g (h)) g' (h)$ di mana $f (h) = \cos (h)$ dan $g (h) = \frac{π}{2} - h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π}{2} - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π}{2} - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \frac{d}{d h} [\frac{π}{2} - h] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{π}{2} - h$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (\frac{d}{d h} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.3

Karena $\frac{π}{2}$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $\frac{π}{2}$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $- h$ terhadap $h$ adalah $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.7

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π}{2} - h) \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1 \sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.3.9

Kalikan $\sin (\frac{π}{2} - h)$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d h} [- 0]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.4.2

Karena $0$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $0$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $\sin (\frac{π}{2} - h)$ dan $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h)}{1}$

Langkah 4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menuliskan $- h$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} - h \cdot \frac{2}{2})}{1}$

Langkah 4.2

Gabungkan $- h$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π}{2} + \frac{- h \cdot 2}{2})}{1}$

Langkah 4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})}{1}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah $\sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} \sin (\frac{π - h \cdot 2}{2})$

Langkah 5.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\sin (lim_{h \to 0} \frac{π - h \cdot 2}{2})$

Langkah 5.3

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π - h \cdot 2)$

Langkah 5.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - lim_{h \to 0} h \cdot 2))$

Langkah 5.6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{h \to 0} h)))$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 \cdot 0)))$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- (2 \cdot 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - 0))$

Langkah 7.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Langkah 7.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} π)$

Langkah 7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Langkah 7.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$1$