Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{\sin (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (3 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.2.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Langkah 1.3.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Langkah 1.3.1.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Langkah 1.3.1.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{1 - e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1 - e^{0^{2}}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Langkah 1.3.3.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.6

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (3 x^{2}) (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - e^{x^{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Langkah 3.9.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Langkah 3.9.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Langkah 3.9.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Langkah 3.9.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} (2 x))}$

Langkah 3.9.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 (e^{x^{2}} (x))}$

Langkah 3.9.5

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 e^{x^{2}} x}$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Kurangi $2 e^{x^{2}} x$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 e^{x^{2}} x}$

Langkah 3.10.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Langkah 4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x \cos (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Langkah 4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Langkah 4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Langkah 4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Langkah 5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Langkah 7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Langkah 8

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Langkah 10

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Langkah 11

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Langkah 12

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Langkah 13

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{0^{2}}}$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{- e^{0^{2}}}$

Langkah 14.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$3 \frac{\cos (0)}{- e^{0^{2}}}$

Langkah 14.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$3 \frac{1}{- e^{0^{2}}}$

Langkah 14.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 \frac{1}{- e^{0}}$

Langkah 14.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Langkah 14.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Langkah 14.4

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Langkah 14.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3$