Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{5 \tan (3 x)}{2 x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{5 \tan (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 \tan (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{5 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.2.3.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \tan (3 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \tan (3 x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.4

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.6

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.8

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 3.9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.11

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (3 x)}{2}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan suku $\frac{15}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{15}{2} lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)$

Langkah 4.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (3 x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{15}{2} {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}$

Langkah 4.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{15}{2} \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)$

Langkah 4.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{15}{2} \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{15}{2} \sec^{2} (3 \cdot 0)$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{15}{2} \sec^{2} (0)$

Langkah 6.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{15}{2} \cdot 1^{2}$

Langkah 6.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{15}{2} \cdot 1$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{15}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{15}{2}$