Kalkulus Contoh

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ sebagai ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = 2 - x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Langkah 1.1.2.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Langkah 1.1.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Langkah 1.1.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Langkah 1.1.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Langkah 1.1.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Langkah 1.1.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Langkah 1.1.2.10.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Langkah 1.1.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Langkah 1.1.2.12

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.13

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.14

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.15

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Langkah 1.1.2.16

Gabungkan $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ dan $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Langkah 1.1.2.17

Pindahkan ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.2.18

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.2.19

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.19.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Langkah 1.1.2.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.2.19.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.2.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Langkah 2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ sebagai ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Atur $2 - x^{3}$ agar sama dengan $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Langkah 3.3.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{3} = - 2$

Langkah 3.3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{3} = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{3} = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2.2.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.3.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Langkah 3.3.3.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{2}$

Langkah 4

Evaluasi $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Langkah 4.1.2.1.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

Langkah 4.1.2.1.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$1 + 1$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = \sqrt[3]{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $\sqrt[3]{2}$ untuk $x$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 4.2.2.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 4.2.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 4.2.2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

Langkah 4.2.2.1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

Langkah 4.2.2.1.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

Langkah 4.2.2.1.4

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 4.2.2.1.5

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\sqrt[3]{2} + 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $\sqrt[3]{2}$ dan $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

Langkah 5