Kalkulus Contoh

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = | x |$ dan $g (x) = x^{2} - 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $| u |$ terhadap $u$ adalah $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Langkah 1.1.2.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Langkah 1.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ dan $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.1.3.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{3} - 32 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Langkah 2.3.1.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Langkah 2.3.1.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Langkah 2.3.1.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Langkah 2.3.1.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Langkah 2.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.3.4

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 2.3.4.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.3.5

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.3.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ benar.

$x = 0, - 4, 4$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$| x^{2} - 16 | = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

Langkah 3.2.2

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 16$

Langkah 3.2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{16}$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{16}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Langkah 3.2.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 4$

Langkah 3.2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 4$

Langkah 3.2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 4$

Langkah 3.2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 4, - 4$

Langkah 3.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Langkah 4

Evaluasi $| x^{2} - 16 |$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$| {(0)}^{2} - 16 |$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| 0 - 16 |$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$| - 16 |$

Langkah 4.1.2.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 16$ dan $0$ adalah $16$ .

$16$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 4$ untuk $x$ .

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$| 16 - 16 |$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$| 0 |$

Langkah 4.2.2.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$| {(4)}^{2} - 16 |$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$| 16 - 16 |$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$| 0 |$

Langkah 4.3.2.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

Langkah 5