Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2} \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.6.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Langkah 1.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $14 x$ dengan $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Langkah 1.1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $12 x$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $4 x \ln (x) = 12 x$ dengan $4 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x \ln (x) = 12 x$ dengan $4 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Langkah 2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Langkah 2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Langkah 2.3.2.2.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $12 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Langkah 2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Langkah 2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Langkah 2.3.3.2.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\ln (x) = 3$

Langkah 2.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\ln (x) = 3$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Langkah 2.6

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{3}$ .

$x = e^{3}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 4

Evaluasi $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = e^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $e^{3}$ untuk $x$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.2

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $3$ keluar dari eksponen.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan eksponen dalam ${(e^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2.1.6.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $7 e^{6}$ dengan $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Langkah 4.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(e^{3}, - e^{6})$

Langkah 5