Kalkulus Contoh

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\sec (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.2.2

Gabungkan $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ dan $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $\sec (\frac{π x}{4})$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $\sec (\frac{π x}{4})$ sama dengan $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Langkah 2.3.2.2

Jangkauan dari sekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.3.3

Atur $\tan (\frac{π x}{4})$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $\tan (\frac{π x}{4})$ sama dengan $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Langkah 2.3.3.2

Selesaikan $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Langkah 2.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Langkah 2.3.3.2.3

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$π x = 0$

Langkah 2.3.3.2.4

Bagi setiap suku pada $π x = 0$ dengan $π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.4.1

Bagilah setiap suku di $π x = 0$ dengan $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Langkah 2.3.3.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Langkah 2.3.3.2.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Langkah 2.3.3.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $π$ .

$x = 0$

Langkah 2.3.3.2.5

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Langkah 2.3.3.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Langkah 2.3.3.2.6.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Langkah 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Langkah 2.3.3.2.6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.2.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Langkah 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{4}{π} π$

Langkah 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 4$

Langkah 2.3.3.2.7

Tentukan periode dari $\tan (\frac{π x}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 2.3.3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $\frac{π}{4}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Langkah 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ mendekati $0.78539816$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Langkah 2.3.3.2.7.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$π \frac{4}{π}$

Langkah 2.3.3.2.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$π \frac{4}{π}$

Langkah 2.3.3.2.7.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4$

Langkah 2.3.3.2.8

Periode dari fungsi $\tan (\frac{π x}{4})$ adalah $4$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4$ radian di kedua arah.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ benar.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.4

Gabungkan jawabannya.

$x = 4 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\sec (\frac{π x}{4})$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Langkah 3.2.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Langkah 3.2.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Sederhanakan $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Langkah 3.2.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Langkah 3.2.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Langkah 3.2.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Langkah 3.2.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Langkah 3.2.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.4.1

Faktorkan $π$ dari $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Langkah 3.2.2.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Langkah 3.2.2.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 + 4 n$

Langkah 3.2.3

Susun kembali $2$ dan $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

Langkah 3.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 4

Evaluasi $\sec (\frac{π x}{4})$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Langkah 4.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Langkah 4.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Langkah 4.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Langkah 4.1.2.1.2.4

Bagilah $π \cdot (0)$ dengan $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\sec (0)$

Langkah 4.1.2.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Langkah 4.2.2.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$\sec (π)$

Langkah 4.2.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$- \sec (0)$

Langkah 4.2.2.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5