Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Langkah 1.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 1.1.4.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 1.1.4.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

Langkah 1.1.5.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

Langkah 1.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

Langkah 2.2

Pindahkan $- \frac{e^{- x}}{4}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

Langkah 2.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$e^{x} = e^{- x}$

Langkah 2.4

Karena bilangan pokoknya sama, maka dua pernyataannya sama hanya jika pangkatnya juga sama.

$x = - x$

Langkah 2.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$x + x = 0$

Langkah 2.5.1.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$2 x = 0$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

Langkah 4.1.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Langkah 4.1.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{4}$

Langkah 4.1.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Langkah 4.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2}$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, \frac{1}{2})$

Langkah 5