Kalkulus Contoh

$f (x) = - 3 - \sqrt{x - 2}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = - 3 - \sqrt{x - 2}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = - 3 - \sqrt{x - 2}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = - 3 - \sqrt{y - 2}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 - \sqrt{y - 2} = x$ .

$- 3 - \sqrt{y - 2} = x$

Langkah 3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$- \sqrt{y - 2} = x + 3$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(- \sqrt{y - 2})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y - 2}$ sebagai ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${(- {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- {(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3

Kalikan ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ dengan $1$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.4

Kalikan eksponen dalam ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(y - 2)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.5

Sederhanakan.

$y - 2 = {(x + 3)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(x + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x + 3)}^{2}$ sebagai $(x + 3) (x + 3)$ .

$y - 2 = (x + 3) (x + 3)$

Langkah 3.4.3.1.2

Perluas $(x + 3) (x + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Langkah 3.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Langkah 3.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Langkah 3.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y - 2 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Langkah 3.4.3.1.3.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 2 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Langkah 3.4.3.1.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y - 2 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Langkah 3.4.3.1.3.2

Tambahkan $3 x$ dan $3 x$ .

$y - 2 = x^{2} + 6 x + 9$

Langkah 3.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = x^{2} + 6 x + 9 + 2$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $9$ dan $2$ .

$y = x^{2} + 6 x + 11$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 11$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 11$ merupakan balikan dari $f (x) = - 3 - \sqrt{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = {(- 3 - \sqrt{x - 2})}^{2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali ${(- 3 - \sqrt{x - 2})}^{2}$ sebagai $(- 3 - \sqrt{x - 2}) (- 3 - \sqrt{x - 2})$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = (- 3 - \sqrt{x - 2}) (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.2

Perluas $(- 3 - \sqrt{x - 2}) (- 3 - \sqrt{x - 2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = - 3 (- 3 - \sqrt{x - 2}) - \sqrt{x - 2} (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = - 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{x - 2}) - \sqrt{x - 2} (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = - 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{x - 2}) - \sqrt{x - 2} \cdot - 3 - \sqrt{x - 2} (- \sqrt{x - 2}) + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 - 3 (- \sqrt{x - 2}) - \sqrt{x - 2} \cdot - 3 - \sqrt{x - 2} (- \sqrt{x - 2}) + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 2} \cdot - 3 - \sqrt{x - 2} (- \sqrt{x - 2}) + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 2} (- \sqrt{x - 2}) + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.4

Kalikan $- \sqrt{x - 2} (- \sqrt{x - 2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + 1 \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.4.2

Kalikan $\sqrt{x - 2}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.4.3

Naikkan $\sqrt{x - 2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.4.4

Naikkan $\sqrt{x - 2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.4.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{1 + 1} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.4.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ sebagai $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 2}$ sebagai ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + x - 2 + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.1.5.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + x - 2 + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.2

Kurangi $2$ dengan $9$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 7 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + x + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.3.3

Tambahkan $3 \sqrt{x - 2}$ dan $3 \sqrt{x - 2}$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 7 + 6 \sqrt{x - 2} + x + 6 (- 3 - \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 7 + 6 \sqrt{x - 2} + x + 6 \cdot - 3 + 6 (- \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $6$ dengan $- 3$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 7 + 6 \sqrt{x - 2} + x - 18 + 6 (- \sqrt{x - 2}) + 11$

Langkah 5.2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 7 + 6 \sqrt{x - 2} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 2} + 11$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan suku balikan dalam $7 + 6 \sqrt{x - 2} + x - 18 - 6 \sqrt{x - 2} + 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Kurangi $6 \sqrt{x - 2}$ dengan $6 \sqrt{x - 2}$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 7 + x - 18 + 0 + 11$

Langkah 5.2.4.1.2

Tambahkan $7 + x - 18$ dan $0$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = 7 + x - 18 + 11$

Langkah 5.2.4.2

Kurangi $18$ dengan $7$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = x - 11 + 11$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan suku balikan dalam $x - 11 + 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Tambahkan $- 11$ dan $11$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (- 3 - \sqrt{x - 2}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{2} + 6 x + 11)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - \sqrt{(x^{2} + 6 x + 11) - 2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kurangi $2$ dengan $11$ .

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - \sqrt{x^{2} + 6 x + 9}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - \sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Langkah 5.3.3.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - \sqrt{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 5.3.3.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - (x + 3)$

Langkah 5.3.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - x - 1 \cdot 3$

Langkah 5.3.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - 3 - x - 3$

Langkah 5.3.4

Kurangi $3$ dengan $- 3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 11) = - x - 6$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 11$ merupakan balikan dari $f (x) = - 3 - \sqrt{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 11$