Kalkulus Contoh

$f (x) = 0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $0.7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.7 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0.7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $0.7$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = {1.7}^{x}$ dan $g (x) = - 1.8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d u} [{1.7}^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $1.7$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{u} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $- 1.8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1.8 x$ terhadap $x$ adalah $- 1.8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $- 1.8$ dengan $1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \cdot - 1.8$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $- 1.8$ dengan $\ln (1.7)$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \cdot - 0.95513085$

Langkah 1.1.3.6

Pindahkan $- 0.95513085$ ke sebelah kiri ${1.7}^{- 1.8 x}$ .

$f' (x) = 2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$

Langkah 2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx - 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$ .

$- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 3.36689747) \cup (- 3.36689747, - 1.19117954) \cup (- 1.19117954, 0.52487955) \cup (0.52487955, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3.36689747)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4.3668976$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4.3668976) = 2.1 {(- 4.3668976)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 4.3668976$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 4.3668976) = 2.1 \cdot 19.06979464 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $2.1$ dengan $19.06979464$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 1.8$ dengan $- 4.3668976$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{7.86041568}$

Langkah 5.2.1.4

Naikkan $1.7$ menjadi pangkat $7.86041568$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot 64.77751969$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan $- 0.95513085$ dengan $64.77751969$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 61.87100757$

Langkah 5.2.2

Kurangi $61.87100757$ dengan $40.04656876$ .

$f' (- 4.3668976) = - 21.8244388$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 21.8244388$ .

$- 21.8244388$

Langkah 5.3

Pada $x = - 4.3668976$ , turunannya adalah $- 21.8244388$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 3.36689747)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 3.36689747)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.27903855$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2.27903855) = 2.1 {(- 2.27903855)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 2.27903855$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.1 \cdot 5.19401671 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $2.1$ dengan $5.19401671$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 1.8$ dengan $- 2.27903855$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{4.10226939}$

Langkah 6.2.1.4

Naikkan $1.7$ menjadi pangkat $4.10226939$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot 8.81786724$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $- 0.95513085$ dengan $8.81786724$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 8.42221705$

Langkah 6.2.2

Kurangi $8.42221705$ dengan $10.90743509$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.48521804$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.48521804$ .

$2.48521804$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2.27903855$ , turunannya adalah $2.48521804$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ .

Meningkat pada $(- 3.36689747, - 1.19117954)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1.1911795, 0.52487955)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.33314995$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.33314995) = 2.1 {(- 0.33314995)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 0.33314995$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 0.33314995) = 2.1 \cdot 0.11098888 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $2.1$ dengan $0.11098888$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 1.8$ dengan $- 0.33314995$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{0.59966991}$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $1.7$ menjadi pangkat $0.59966991$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot 1.37465363$

Langkah 7.2.1.5

Kalikan $- 0.95513085$ dengan $1.37465363$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 1.31297409$

Langkah 7.2.2

Kurangi $1.31297409$ dengan $0.23307666$ .

$f' (- 0.33314995) = - 1.07989742$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.07989742$ .

$- 1.07989742$

Langkah 7.3

Pada $x = - 0.33314995$ , turunannya adalah $- 1.07989742$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1.1911795, 0.52487955)$ .

Menurun pada $(- 1.19117954, 0.52487955)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0.52487955, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.5248796$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.5248796) = 2.1 {(1.5248796)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $1.5248796$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.5248796) = 2.1 \cdot 2.32525779 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $2.1$ dengan $2.32525779$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 1.8$ dengan $1.5248796$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 2.74478328}$

Langkah 8.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{{1.7}^{2.74478328}}$

Langkah 8.2.1.5

Naikkan $1.7$ menjadi pangkat $2.74478328$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{4.29074145}$

Langkah 8.2.1.6

Bagilah $1$ dengan $4.29074145$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot 0.23305995$

Langkah 8.2.1.7

Kalikan $- 0.95513085$ dengan $0.23305995$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.22260275$

Langkah 8.2.2

Kurangi $0.22260275$ dengan $4.88304136$ .

$f' (1.5248796) = 4.66043861$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4.66043861$ .

$4.66043861$

Langkah 8.3

Pada $x = 1.5248796$ , turunannya adalah $4.66043861$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0.52487955, \infty)$ .

Meningkat pada $(0.52487955, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 3.36689747, - 1.19117954), (0.52487955, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 3.36689747), (- 1.19117954, 0.52487955)$

Langkah 10