Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} + 2}$ sebagai ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 2$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 2$ .

$- (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4.2

Kalikan ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ dengan $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot 0$

Langkah 1.1.4.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.8.1

Kalikan $\frac{1}{x^{2} + 2}$ dengan $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + 0$

Langkah 1.1.4.8.2

Tambahkan $2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$ dan $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Langkah 1.1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Langkah 1.1.5.2.2

Gabungkan $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(1 + 2)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{3^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{9}$

Langkah 5.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{2}{9}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{2}{9}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{2}{{(1 + 2)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{3^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{9}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{2}{9}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 8