Kalkulus Contoh

$y = (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{2} - 10 x + 10$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Langkah 1.3.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Langkah 1.3.5

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Langkah 1.3.7

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

Langkah 1.3.8

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + 0)$

Langkah 1.3.9

Tambahkan $10 x - 10$ dan $0$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

Langkah 1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) + e^{x} \cdot - 10$

Langkah 1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Pindahkan $- 10$ ke sebelah kiri $e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) - 10 \cdot e^{x}$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $- 10 x e^{x}$ dan $e^{x} (10 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 x e^{x} + 10 x e^{x} - 10 e^{x}$

Langkah 1.4.3.2.2

Tambahkan $- 10 x e^{x}$ dan $10 x e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} + 0 - 10 e^{x}$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x}$ dan $0$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 e^{x}$

Langkah 1.4.3.4

Kurangi $10 e^{x}$ dengan $10 e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 0$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $5 x^{2} e^{x}$ dan $0$ .

$5 x^{2} e^{x}$

Langkah 1.4.4

Susun kembali faktor-faktor dari $5 x^{2} e^{x}$ .

$5 e^{x} x^{2}$

Langkah 1.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $5 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{2} e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2} e^{x}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x))$

Langkah 2.5.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$

Langkah 2.5.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ .

$f'' (x) = 5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2} e^{x}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$

Langkah 3.2.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Langkah 3.3.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x})$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x} + e^{x})$

Langkah 3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)) + 10 (x e^{x}) + 10 e^{x}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 (e^{x} (x)) + 10 (x e^{x}) + 10 e^{x}$

Langkah 3.4.3.2

Tambahkan $10 e^{x} x$ dan $10 x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x} + 10 x e^{x} + 10 e^{x}$

Langkah 3.4.3.2.2

Tambahkan $10 x e^{x}$ dan $10 x e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 20 x e^{x} + 10 e^{x}$

Langkah 3.4.4

Susun kembali suku-suku.

$5 e^{x} x^{2} + 20 e^{x} x + 10 e^{x}$

Langkah 3.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $5 e^{x} x^{2} + 20 e^{x} x + 10 e^{x}$ .

$f''' (x) = 5 x^{2} e^{x} + 20 x e^{x} + 10 e^{x}$