Kalkulus Contoh

$f (x, y) = \sin^{2} (x - 3 y)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x - 3 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sin (x - 3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sin (x - 3 y)$ .

$2 \sin (x - 3 y) \frac{d}{d x} [\sin (x - 3 y)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x - 3 y$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 3 y$ .

$2 \sin (x - 3 y) (\cos (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x - 3 y])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Langkah 1.3.3

Karena $- 3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) (1 + 0)$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y) \cdot 1$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$ .

$2 \cos (x - 3 y) \sin (x - 3 y)$

Langkah 1.4.2

Susun kembali $2 \cos (x - 3 y)$ dan $\sin (x - 3 y)$ .

$\sin (x - 3 y) (2 \cos (x - 3 y))$

Langkah 1.4.3

Susun kembali $\sin (x - 3 y)$ dan $2$ .

$2 \cdot \sin (x - 3 y) \cos (x - 3 y)$

Langkah 1.4.4

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\sin (2 (x - 3 y))$

Langkah 1.4.5

Terapkan sifat distributif.

$\sin (2 x + 2 (- 3 y))$

Langkah 1.4.6

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f' (x) = \sin (2 x - 6 y)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 6 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 6 y$ .

$\cos (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 6 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$\cos (2 x - 6 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 2.2.5

Karena $- 6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\cos (2 x - 6 y) (2 + 0)$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\cos (2 x - 6 y) \cdot 2$

Langkah 2.2.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x - 6 y)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x - 6 y)$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (2 x - 6 y)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6 y)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6 y)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 6 y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 6 y$ .

$2 (- \sin (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 (\sin (2 x - 6 y) \frac{d}{d x} [2 x - 6 y])$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 6 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 3.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 3.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 + \frac{d}{d x} [- 6 y])$

Langkah 3.3.6

Karena $- 6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) (2 + 0)$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$- 2 \sin (2 x - 6 y) \cdot 2$

Langkah 3.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x - 6 y)$