Kalkulus Contoh

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 e^{\frac{t}{2}}$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{t}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{t}{2}$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{t}{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.6

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.7

Gabungkan $e^{\frac{t}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.8

Gabungkan $4$ dan $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.9

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Faktorkan $2$ dari $4 e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.2.9.2.4

Bagilah $2 e^{\frac{t}{2}}$ dengan $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ dan $0$ .

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 e^{\frac{t}{2}}$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{t}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{t}{2}$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{t}{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.6

Gabungkan $e^{\frac{t}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.7

Gabungkan $2$ dan $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.8.2

Bagilah $e^{\frac{t}{2}}$ dengan $1$ .

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $e^{\frac{t}{2}}$ dan $0$ .

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $P (t)$ terhadap $t$ adalah $e^{\frac{t}{2}}$ .

$e^{\frac{t}{2}}$