Kalkulus Contoh

$g (x) = \frac{3 e^{x}}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 e^{x}}{x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x$ .

$3 \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 (x e^{x} - e^{x})}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (- e^{x})}{x^{2}}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x e^{x} - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 e^{x} x - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.5.4

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $3 e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $3 e^{x} x$ .

$\frac{3 e^{x} (x) - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Langkah 1.5.4.2

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $- 3 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.5.4.3

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$

Langkah 2.2

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x - 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.5.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.5.4.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Langkah 2.7.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Langkah 2.8

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Langkah 2.10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Langkah 2.10.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.5.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 (e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 3 (2 e^{x})}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.1.6

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.5.2.1

Kurangi $3 x e^{x}$ dengan $3 x e^{x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} + 0 - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.2.2

Tambahkan $3 x^{2} e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2.10.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2.10.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2.10.7

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.7.1

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2.10.7.2

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Langkah 2.10.7.3

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $6 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.7.4

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Langkah 2.10.7.5

Faktorkan $3 e^{x}$ dari $3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$