Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 5 x$ dan $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$\frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 5 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.10.2

Kalikan $x^{2} + 5 x$ dengan $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2.12

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot (x^{2} + 5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Perluas $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $25$ .

$\frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.2

Kalikan $25$ dengan $5$ .

$\frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.5

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.2.2

Tambahkan $50 x + 125 - 5 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.3.3

Tambahkan $- 5 x^{2}$ dan $10 x^{2}$ .

$\frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.1.2

Faktorkan $5$ dari $50 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.1.3

Faktorkan $5$ dari $125$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.1.4

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.1.5

Faktorkan $5$ dari $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Langkah 1.3.5.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.5.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 5$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.6.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.3.6.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 5$ dan $b = x$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Langkah 1.3.6.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Langkah 1.3.7

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 5)}^{2}$ dan ${(5 + x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Langkah 1.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Langkah 1.3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ sebagai ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{({(5 - x)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{- 2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = 5 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 - x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 - x$ .

$5 (- 2 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$- 10 ({(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.3.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 10$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Langkah 2.3.8

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3}$

Langkah 2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan $10$ dan $\frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(5 - x)}^{3}}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$